I've been looking forward to meeting you.

*英語音声が流れます。音量にご注意ください。

このフレーズは、「(ある時点から今の今まで)お会いできるのをずっと楽しみにしていた。」ということを強調する表現です。このようにある時点から継続して「~している」という表現を作るときには現在完了進行形have(has) + been + 動詞ingを使います。
look forwardで「楽しみにしている」、to meeting youで「あなたに会うことを」という表現です。